Question

12．二阶矩阵A有特征值λ=6，其对应的一个特征向量为$\overrightarrow e=[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]$，并且矩阵A对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A．

Answer 1

分析 利用待定系数法求矩阵A．

解答 解：设所求二阶矩阵A=$[\begin{array}{l}ab\\ cd\end{array}]$，则$\left\{\begin{array}{l}A\overrightarrow e=6\overrightarrow e\\ A[\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}]=[\begin{array}{l}8\\ 4\end{array}]\end{array}\right.$…（4分）
∴$\left\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}a+b\\ c+d\end{array}]=[\begin{array}{l}6\\ 6\end{array}]\\[\begin{array}{l}a+2b\\ c+2d\end{array}]=[\begin{array}{l}8\\ 4\end{array}]\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}a+b=6\\ c+d=6\\ a+2b=8\\ c+2d=4\end{array}\right.$…（8分）
解方程组得A=$[\begin{array}{l}{4}&{2}\\{8}&{-2}\end{array}]$…（10分）

点评 本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．