Question

17．已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0，（n∈N^*）的两根，且a₁=1
（1）求证：数列{a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若b_n-mS_n＞0对任意的n∈N^*都成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，可得a_n+a_n+1=2ⁿ，整理变形可得数列{a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ}是等比数列；
（2）确定数列的通项，分组求和，可得数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）由（2）的结论，求得b_n，把b_n及数列{a_n}的前n项和代入b_n-mS_n＞0，此不等式对任意n∈N^*都成立，可用分离常数法的技巧得到参数的取值范围．

解答 （1）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0，（n∈N^*）的两根，∴a_n+a_n+1=2ⁿ，
∴a_n+1-$\frac{1}{3}$•2ⁿ⁺¹=-（a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ），即$\frac{{a}_{n+1}-\frac{1}{3}•{2}^{n+1}}{{a}_{n}-\frac{1}{3}•{2}^{n}}=-1$，
∴{a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ}是等比数列；
（2）解：${a}_{1}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，q=-1，
∴a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ=$\frac{1}{3}$（-1）^n-1，则a_n=$\frac{1}{3}$[2ⁿ-（-1）ⁿ]；
S_n=a₁+a₂+…+a_n
=$\frac{1}{3}${（2+2²+…+2ⁿ）-[（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]}
=$\frac{1}{3}${$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-$\frac{（-1）[1-（-1）^{n}]}{1+1}$}
=$\frac{1}{3}$[2ⁿ⁺¹-2-$\frac{-1+（-1）^{n}}{2}$]=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{n+1}}{3}-\frac{2}{3}，n为偶数}\\{\frac{{2}^{n+1}}{3}-\frac{1}{3}，n为奇数}\end{array}\right.$；
（3）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{3}$[2ⁿ-（-1）ⁿ]•$\frac{1}{3}$[2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹]=$\frac{1}{9}$[2²ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]，
要使b_n-mS_n＞0对任意n∈N^*都成立，
即$\frac{1}{9}$[2²ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]-$\frac{m}{3}$[2ⁿ⁺¹-2-$\frac{-1+（-1）^{n}}{2}$]＞0（*）对任意n∈N^*都成立．
当n为正奇数时，由（*）式得：$\frac{1}{9}$[2²ⁿ⁺¹+2ⁿ-1]-$\frac{m}{3}$（2ⁿ⁺¹-1）＞0，
即$\frac{1}{9}$（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ+1）-$\frac{m}{3}$（2ⁿ⁺¹-1）＞0，
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴m＜$\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）对任意正奇数n都成立，
当且仅当n=1时，$\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）有最小值1．
∴m＜1；
当n为正偶数时，由（*）式得：$\frac{1}{9}$[2²ⁿ⁺¹-2ⁿ-1]-$\frac{m}{3}$（2ⁿ⁺¹-2）＞0，
即$\frac{1}{9}$（2ⁿ⁺¹+1）（2ⁿ-1）-$\frac{2m}{3}$（2ⁿ-1）＞0，
∵2ⁿ-1＞0，∴m＜$\frac{1}{6}$（2ⁿ⁺¹+1）对任意正偶数n都成立．
当且仅当n=2时，$\frac{1}{6}$（2ⁿ⁺¹+1）有最小值$\frac{3}{2}$．
∴m＜$\frac{3}{2}$．
综上所述，存在常数m，使得b_n-mS_n＞0对任意n∈N^*都成立，m的取值范围是（-∞，1）．

点评 本是考查数列与不等式的综合，解题的关键是熟练掌握不等式证明的技巧与数列通项求和的技巧，本题中用构造法求数列的通项，是递推关系知道的情况下求数列通项的常用方法，对于不等式恒成立求参数的问题，本题采用了分离常数法的思想将参数独立出来，通过求关于n的代数式的最小值求出参数的取值范围，本题考查了转化化归的思想，方程的思想，构造法的技巧，综合性强，技巧性强，属难题．