Question

17．化简$\frac{1}{{{2^2}-1}}+\frac{1}{{{4^2}-1}}+\frac{1}{{{6^2}-1}}+\frac{1}{{{8^2}-1}}+\frac{1}{{{{10}^2}-1}}$=（　　）

• A． $\frac{7}{12}$
• B． $\frac{7}{11}$
• C． $\frac{7}{10}$
• D． $\frac{5}{11}$

Answer 1

分析 将根据平方差公式将原式化简$\frac{1}{（2-1）（2+1）}$+$\frac{1}{（4-1）（4+1）}$+$\frac{1}{（6-1）（6+1）}$+$\frac{1}{（8-1）（8+1）}$+$\frac{1}{（10-1）（10+1）}$，采用“裂项法”即可求得原多项式的值．

解答 解：$\frac{1}{{{2^2}-1}}+\frac{1}{{{4^2}-1}}+\frac{1}{{{6^2}-1}}+\frac{1}{{{8^2}-1}}+\frac{1}{{{{10}^2}-1}}$
=$\frac{1}{（2-1）（2+1）}$+$\frac{1}{（4-1）（4+1）}$+$\frac{1}{（6-1）（6+1）}$+$\frac{1}{（8-1）（8+1）}$+$\frac{1}{（10-1）（10+1）}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{11}$），
=$\frac{5}{11}$，
故答案选：D．

点评 本题考查“裂项法”求数列的前n项，考查计算能力，属于中档题．