Question

9．以下四个命题：
①若函数y=e^x-mx（m∈R）有大于零的极值点，则实数m＞1；
②命题“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④已知函数f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1处取得极大值10，则$\frac{a}{b}$的值为-2或$-\frac{2}{3}$．
其中真命题的序号为①②③（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析 ①根据函数极值和导数的关系进行判断；
②直接写出特称命题的否定判断；
③根据一元二次方程与椭圆和双曲线的离心率进行判断；
④根据函数极值和导数的关系求出a，b的关系进行判断．

解答 解：①∵y=e^x-mx，∴y'=e^x-m．
若y=e^x-mx（x∈R）有大于零的极值点，则等价为y′=e^x-m=0有大于0的实根，
即m=e^x有大于0的实根，∵x＞0，∴e^x＞1．∴m＞1．故①正确；
②命题“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”，故②正确；
③方程2x²-5x+2=0的两根$\frac{1}{2}$和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故④正确；
④∵f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a，∴f′（x）=3x²+2ax+b，
又f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1处取得极大值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a²-7a=10，
∴a²+8a+12=0，
∴a=-2，b=1或a=-6，b=9．
当a=-2，b=1时，f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
当$\frac{1}{3}$＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；
当a=-6，b=9时，f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意．
则$\frac{a}{b}$=-$\frac{6}{9}$=-$\frac{2}{3}$，故④错误．
∴正确的命题是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的极值和导数的关系，椭圆，双曲线和抛物线的定义和性质，涉及的知识点较多，综合性较强，是中档题．