Question

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，三边长a、b、c成等比数列．
（I）若，求证△ABC为正三角形；  
（II）若，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由a，b及c成等比数列，利用等比数列的性质得到关于a，b及c的关系式，然后再利用余弦定理表示出cosB，把得到的关系式及cosB的值代入，化简整理后得到a=c，即三角形ABC为等腰三角形，再加上B为，即可得到三角形ABC为等边三角形；
（II）由B的度数，利用三角形的内角和定理得到A+C的度数，用B表示出A，再利用正弦定理化简第一问得到的关系式b²=ac，把B的度数及表示出的A代入，利用特殊角的三角形函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，接着再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可得到sin（2A+）的值．
解答：解：（I）由a、b、c成等比数列可得b²=ac，（2分）
若，由余弦定理，
可得，（3分）
即（a-c）²=0，所以a=c，又，
故△ABC为正三角形；（5分）
（II）由b²=ac及正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，（7分）
当时，可得，
即=，（9分）
即，（11分）
所以，
故=．（13分）
点评：此题考查了等比数列的性质，正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握公式及定理，依据公式定理进行准确灵活变形是解本题的关键．