Question

7．f（x）=|x-3|-2，g（x）=4-|x+1|
（Ⅰ）若f（x）≥g（x），求x的取值范围；
（Ⅱ）若不等式f（x）-g（x）≥a²-3a的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；
（Ⅱ）求出|3-x|+|x+1|-6的最小值，问题转化为a²-3a≤-2，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）≥g（x），得|x-3|+|x+1|≥6，
x＜-1时，不等式可化为：3-x-x-1≥6，解得：x≤-2，
-1≤x＜3时，不等式可化为：3-x+x+1≥6，无解，
x≥3时，不等式可化为x-3+x+1≥6，解得：x≥4，
综上，不等式的解集是{x|x≥4或x≤-2}；
（Ⅱ）对任意的x，f（x）-g（x）=|x-3|+|x+1|-6，
∵|3-x|+|x+1|-6≥|（3-x）+（x+1）|-6=4-6=-2，
∴a²-3a≤-2，即1≤a≤2，
故a的范围是[1，2]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．