Question

16．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t为参数），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=$\frac{π}{2}$，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$，（t为参数）距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的平方关系式，消去参数求出普通方程即可．
（2）求出P的坐标，设出椭圆上的点的坐标，求出中点M，代入曲线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．

解答 解：（1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t为参数），消去t可得（x+4）²+（y-3）²=1，曲线是圆，圆心（-4，3）半径为1．
C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．消去θ可得：$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，表示椭圆焦点坐标在x轴，长半轴的长为8，短半轴的长为3．
（2）点P对应的参数为t=$\frac{π}{2}$，代入曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t为参数），
可得P（-4，4），Q为C₂上的动点，
Q（8cosθ，3sinθ），M（-2+4cosθ，2+$\frac{3}{2}$sinθ），直线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$，
点M到直线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$，（t为参数）距离：d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4cosθ-3sinθ-13|，
当cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=$-\frac{3}{5}$时，d取得最小值为：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查曲线的参数方程的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．