Question

【题目】如图,直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA1=2,如图,以C为原点,分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

(1)求平面A1B1C的法向量;

(2)求直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）v=(x0,y0,z0)为平面A1B1C的法向量,则v·=x0+2z0=0,v· =y0+2z0=0,解方程组即得平面A1B1C的法向量.(2)利用向量法求直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值.

(1)由题意可知C(0,0,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),故=(1,0,2),=(0,1,2),

设v=(x0,y0,z0)为平面A1B1C的法向量,则

v·=(x0,y0,z0)(1,0,2)=x0+2z0=0,

v·=(x0,y0,z0)(0,1,2)=y0+2z0=0,

即令z0=1,则v=(-2,-2,1).

(2)设直线AC与平面A1B1C夹角为θ,而=(1,0,0),

所以直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值sinθ

=.