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    已知函数f(x)=
    x
    1+x2
    ，x∈(0，1)    ．
    （1）设x1，x2∈（0，1），证明：（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]≥0；
    （2）设x∈（0，1），证明：
    3x2-x
    1+x2
    ≥
    9
    10
    (x-
    1
    3
    )    ；
    （3）设x1，x2，x3都是正数，且x1+x2+x3=1，求u=
    3
    x
    2
    1
    -x1
    1+
    x
    2
    1
    +
    3
    x
    2
    2
    -x2
    1+
    x
    2
    2
    +
    3
    x
    2
    3
    -x3
    1+
    x
    2
    3
    的最小值．
    分析：（1）将函数代入并进行化简即可得证；
    （2）利用（1）的结论得(x-
    1
    3
    )[f(x)-
    1
    3
    ]≥0    ，经化简即可证明；
    （3）利用（2）的结论，代入化简u=
    3
    x
    2
    1
    -x1
    1+
    x
    2
    1
    +
    3
    x
    2
    2
    -x2
    1+
    x
    2
    2
    +
    3
    x
    2
    3
    -x3
    1+
    x
    2
    3
    可得最小值
    解答：解：（1）(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]=(x1-x2)•[
    x1
    1+
    x
    2
    1
    -
    x2
    1+
    x
    2
    2
    ]=
    (x1-x2)2(1-x1x2)
    (1+
    x
    1
    2
    )(1+
    x
    2
    2
    )
    ≥0    ，故得证；
    （2）由（1）得(x-
    1
    3
    )[f(x)-
    1
    3
    ]≥0    ，即(x-
    1
    3
    )(
    x
    1+x2
    -
    3
    10
    )≥0    整理得
    3x2-x
    1+x2
    ≥
    9
    10
    (x-
    1
    3
    )    ，从而得证；
    （3）由（2）得u=
    3
    x
    2
    1
    -x1
    1+
    x
    2
    1
    +
    3
    x
    2
    2
    -x2
    1+
    x
    2
    2
    +
    3
    x
    2
    3
    -x3
    1+
    x
    2
    3
    ≥
    9
    10
    (x1-
    1
    3
    +x2-
    1
    3
    +x3-
    1
    3
    )=0    ，即最小值为0
    点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查已知函数解析式，证明不等式即求函数则最值，注意上下小题之间的联系．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
    （1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
    （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型：022

    已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

    已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
    A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
    B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
    C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
    D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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