【题目】在中,,,沿中位线DE折起后,点A对应的位置为点P,.
(1)求证:平面平面DBCE;
(2)求证:平面平面PCE;
(3)求直线BP与平面PCE所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)由直角及中位线可得,,即可证得平面PBD,进而求证;
(2)以D为原点,过D作平面DBCE,DB,DE,DH所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面和平面PCE的法向量,由法向量垂直即可证明两平面垂直;
(3)由(2)可得与平面PCE的法向量,利用向量的数量积求解即可.
(1)证明:,,
,,
,,
又平面PBD,平面PBD,,
平面PBD,
平面DBCE,
平面平面DBCE.
(2)证明:以D为原点,过D作平面DBCE,DB,DE,DH所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
设,则,
所以,,,,
所以,,,
设平面BPC的法向量,则,即,
令,则,所以,
同理,设平面PCE的法向量,则,即,令,则,所以,
因为,所以,
所以平面平面PCE.
(3)由(2)知,,平面PCE的法向量为,
所以,
所以直线BP与平面PCE所成角的正弦值为.
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【题目】已知非零实数,,不全相等,则下列说法正确的个数是( )
(1)如果,,成等差数列,则,,能构成等差数列
(2)如果,,成等差数列,则,,不可能构成等比数列
(3)如果,,成等比数列,则,,能构成等比数列
(4)如果,,成等比数列,则,,不可能构成等差数列
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】关于函数,下列判断正确的是( )
A. 有最大值和最小值
B. 的图象的对称中心为()
C. 在上存在单调递减区间
D. 的图象可由的图象向左平移个单位而得
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【题目】在直角坐标系xOy中,已知直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(t为参数),其中α∈(0,),以原点O为点x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ﹣2sinθ=0.
(1)写出直线l1的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l1,l2分别与曲线C交于点A,B(非坐标原点)求|AB|的值.
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【题目】由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从湖口中学随机抽取16名学生,经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如下:
(1)指出这组数据的众数和中位数;
(2)若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”,求校医从这16人中选取3人,至多有1人是“好视力”的概率;
(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选3人,记表示抽到“好视力”学生的人数,求的分布列及数学期望.
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【题目】已知点在圆:上运动,点在轴上的投影为,动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点的动直线与曲线交于、两点,问:在轴上是否存在定点使得的值为定值?若存在,求出定点的坐标及该定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.“”是“点到直线的距离为3”的充要条件
B.直线的倾斜角的取值范围为
C.直线与直线平行,且与圆相切
D.离心率为的双曲线的渐近线方程为
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