Question

已知：圆C过定点A（0，p），圆心C在抛物线x²=2py上运动，若MN为圆C在X轴上截和的弦，设|AM|=l₁，|AN|=l₂，∠MAN=α．
（1）当点C运动时，|MN|是否变化？写出并证明你的结论；
（2）求

l1

l2

+

l2

l1

的最大值，并求取得这个最大值时α的值和此时圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）先设出圆的方程，求出M，N两点的坐标表示出|MN|即可发现|MN|的取值是否变化．
（2）先利用三角形的面积公式求出l1l2=

2p2

sinθ

，再利用余弦定理求出l₁²+l₂²的表达式．代入

l1

l2

+

l2

l1

整理为关于θ的函数，利用θ的范围来求

l1

l2

+

l2

l1

的最大值和此时圆C的方程即可．

解答：解：（1）：由题意得：⊙C的方程（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-1）²．
把y=0和x₀²=2py₀代入整理得x²-2x₀x+x₀²+x_p²=0．
解之得方程的两根分为
x₁=x₀-p，x₂=x₀+p．∴|MN|=|x₁-x₂|=2P．
∴点C运动时，|MN|不会变化，|MN|=2P（定值）
（2）设∠MAN=θ
∵S_△AMN=

1

2

l1•l2• sinθ=

1

2

|OA||MN|=p²，∴l1l2=

2p2

sinθ

∵l₁²+l₂²-2l₁l₂cosθ=4P²，∴l12+l22=4P2+

4P2

sinθ

cosθ=4P2(1+ctgθ)．
∴

l2

l1

+

l1

l2

=

l12+l22

l1l2

=

4P2(1+ctgθ)sinθ

2P2

=2

2

sin(θ+

π

4

)．
∵只有当C在O点处时，θ为直径上圆周角，其他时候都是劣弧上的圆周角．
∴0＜θ≤

π

2

，
故当θ=

π

4

时，原式有最大值2

2

．
∵∠MAN=

π

4

，∴∠MCN=2∠MAN=

π

2

∴y₀=P，x₀=±

2

P，r=

2

P．
所求圆的方程为(x-

2

p)2+(y-p)2=2p2或((x+

2

p)2+(y-p)2=2p2．

点评：本题是对圆与抛物线以及余弦定理，三角形面积公式等知识的综合考查，做这一类型题，读题很关键．