Question

设f（x）=-x³+x²+tx+t 在（-2，2）上是增函数，求t的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系，转化为f′（x）≥0在（-2，2）恒成立，利用二次函数的图象和性质，即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=-x³+x²+tx+t，
∴f′（x）=-3x²+2x+t，
要使函数f（x）=-x³+x²+tx+t 在（-2，2）上是增函数，
则f′（x）=-3x²+2x+t≥0在（-2，2）恒成立，
即t≥3x²-2x在（-2，2）上恒成立，
设g（x）=3x²-2x，则g（x）=3x²-2x=3（x-

1

3

）²-

1

3

，
∵x∈（-2，2），
∴-

1

3

≤g（x）＜16，
∴t≥16，
故答案为：[16，+∞）

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，利用函数恒成立是解决本题的关键．