Question

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB =1，F为CD的中点。

（1）求证：AF⊥平面CDE；
（2）求平面ACD和平面BCE所成锐二面角的大小；
（3）求三棱锥A-BCE的体积。

Answer 1

解：（1）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD ∴DE⊥AF 又∵AC=AD，F为CD的中点， ∴AF⊥CD ∵CD∩DE=D ∴AF⊥平面CDE。
（2）如图，延长DA、EB交于点H，连接CH，易知AB∥DE， ∴A为HD的中点， ∵F为CD的中点， ∴CH∥AF ∵AF⊥平面CDE， ∴CH⊥平面CDE ∴∠DCE为平面ACD与平面BCE所成锐二面角的平面角， 又△CDE是等腰直角三角形，则∠DCE =45°， 故所求锐二面角的大小为45°。
（3） 又DE∥AB 故点E到平面ABC 的距离h等于点D到平面ABC的距离，即△ADC中的AC边上的高 ∴。