Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣1﹣x．
（1）若存在x∈[﹣1，ln ]，满足a﹣ex+1+x＜0成立，求实数a的取值范围．
（2）当x≥0时，f（x）≥（t﹣1）x恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a﹣ex+1+x＜0，

∴a＜ex﹣1﹣x，

∴a＜f（x），f'（x）=ex﹣1=0，

∴x=0，

∴f（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，

x∈[﹣1，ln ]，故最大值应在端点处，

∵f（﹣1）= ，f（ln ）= ﹣1﹣ln ＜ ，

∴a＜

（2）解：当x≥0时，f（x）≥（t﹣1）x恒成立，

∴ex﹣1﹣x≥（t﹣1）x，

∴ex﹣1﹣tx≥0恒成立，

令g（x）=ex﹣1﹣tx，g'（x）=ex﹣t，

若t≤1，则当x≥0时，g'（x）＞0，且g（0）=0，

∴当x≥0时，g（x）≥0恒成立，

∴f（x）≥（t﹣1）x恒成立，

若t＞1，则当x∈（0，lnt）时，g'（x）＜0，g（x）递减，g（0）=0，

∴当x∈（0，lnt）时，g（x）＜0．

故不复合题意，

故t的范围为t≤1

【解析】（1）不等式可整理为a＜ex﹣1﹣x，只需求出右式在区间内的最大值即可；（2）不等式整理为ex﹣1﹣tx≥0恒成立，构造函数g（x）=ex﹣1﹣tx，求出导函数g'（x）=ex﹣t，对t分类，通过单调性得出t的范围．