Question

【题目】如图，椭圆C： (a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点的距离为．不过原点O的直线与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求ABP的面积取最大时直线l的方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 直线l的方程为 .

【解析】试题分析：

(1)由题意可得．则所求椭圆C的方程为： ．

(2)首先设出点的坐标，设而不求可得直线AB的斜率为，然后联立直线与椭圆的方程，结合面积函数，利用导函数研究三角形面积的最大值可得ABP的面积取最大时直线l的方程是 .

试题解析：

(1)由题意可得： ①；

左焦点到点的距离为： ②．

由①②可解得： ．

∴所求椭圆C的方程为： ．

(2)易得直线OP的方程： ，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．

其中y0＝x0．∵A，B在椭圆上，

∴．

设直线AB的方程为 (m≠0)，代入椭圆： ，

整理得： ．

显然．

∴﹣且m≠0．由上又有： ， ．

∴AB＝||＝ ＝ ．

∵点到直线l的距离表示为： ．

∴SABP＝ ＝ ，

令，

则，

﹣且m≠0， ，令则，

解得，（ ），

当时， 递增，

当时， 递减，

所以，当且仅当时， ABP的面积取最大，

此时，直线l的方程为 ．