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【题目】设函数f(x)=x2+bx﹣alnx.
(1)若x=2是函数f(x)的极值点,1和x0是函数f(x)的两个不同零点,且x0∈(n,n+1),n∈N,求n.
(2)若对任意b∈[﹣2,﹣1],都存在x∈(1,e)(e为自然对数的底数),使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.

【答案】
(1)解: ,∵x=2是函数f(x)的极值点,∴

∵1是函数f(x)的零点,得f(1)=1+b=0,

,解得a=6,b=﹣1.

∴f(x)=x2﹣x﹣6lnx,

= ,x∈(0,+∞),得x>2;

令f′(x)<0得0<x<2,

所以f(x)在(0,2)上单调递减;在(2,+∞)上单调递增.

故函数f(x)至多有两个零点,其中1∈(0,2),x0∈(2,+∞),

因为f(2)<f(1)=0,f(3)=6(1﹣ln3)<0,f(4)=6(2﹣ln4)= 0,

所以x0∈(3,4),故n=3.


(2)解:令g(b)=xb+x2﹣alnx,b∈[﹣2,﹣1],则g(b)为关于b的一次函数且为增函数,

根据题意,对任意b∈[﹣2,﹣1],都存在x∈(1,e)(e 为自然对数的底数),使得f(x)<0成立,

则在x∈(1,e)上 ,有解,

令h(x)=x2﹣x﹣alnx,只需存在x0∈(1,e)使得h(x0)<0即可,

由于

令φ(x)=2x2﹣x﹣a,x∈(1,e),φ'(x)=4x﹣1>0,

∴φ(x)在(1,e)上单调递增,φ(x)>φ(1)=1﹣a,

①当1﹣a≥0,即a≤1时,φ(x)>0,即h′(x)>0,h(x)在(1,e)上单调递增,∴h(x)>h(1)=0,不符合题意.

②当1﹣a<0,即a>1时,φ(1)=1﹣a<0,φ(e)=2e2﹣e﹣a

若a≥2e2﹣e>1,则φ(e)<0,所以在(1,e)上φ(x)<0恒成立,即h′(x)<0恒成立,∴h(x)在(1,e)上单调递减,

∴存在x0∈(1,e)使得h(x0)<h(1)=0,符合题意.

若2e2﹣e>a>1,则φ(e)>0,∴在(1,e)上一定存在实数m,使得φ(m)=0,

∴在(1,m)上φ(x)<0恒成立,即h′(x)<0恒成立,∴h(x)在(1,e)上单调递减,

∴存在x0∈(1,e)使得h(x0)<h(1)=0,符合题意.

综上所述,当a>1时,对任意b∈[﹣2,﹣1],都存在x∈(1,e)(e 为自然对数的底数),使得f(x)<0成立


【解析】(1)先求导得到 ,由 ,f(1)=1+b=0,得到a与b的值,再令导数大于0,或小于0,得到函数的单调区间,再由零点存在性定理得到得到x0∈(3,4),进而得到n的值;(2)令g(b)=xb+x2﹣alnx,b∈[﹣2,﹣1],问题转化为在x∈(1,e)上g(b)max=g(﹣1)<0有解即可,亦即只需存在x0∈(1,e)使得x2﹣x﹣alnx<0即可,连续利用导函数,然后分别对1﹣a≥0,1﹣a<0,看是否存在x0∈(1,e)使得h(x0)<h(1)=0,进而得到结论.
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点,需要掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题.

练习册系列答案
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租用单车数量(千辆)

2

3

4

5

8

每天一辆车平均成本(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.7

根据以上数据,研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型,得到两个回归方程,方程甲: ,方程乙: .

(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务:

①完成下表(计算结果精确到0.1)(备注: 称为相应于点的残差(也叫随机误差));

租用单车数量(千辆)

2

3

4

5

8

每天一辆车平均成本(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.7

模型甲

估计值

2.4

2.1

1.6

残差

0

0.1

模型乙

估计值

2.3

2

1.9

残差

0.1

0

0

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和,并通过比较 的大小,判断哪个模型拟合效果更好.

(2)这个公司在该城市投放共享单车后,受到广大市民的热烈欢迎,共享单车常常供不应求,于是该公司研究是否增加投放,根据市场调查,这个城市投放8千辆时,该公司平均一辆单车一天能收入10元,6元收入的概率分别为0.6,0.4;投放1万辆时,该公司平均一辆单车一天能收入10元,6元收入的概率分别为0.4,0.6,问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润?(按(1)中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本,利润=收入—成本).

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2

3

4

5

8

每天一辆车平均成本(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.7

根据以上数据,研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型,得到两个回归方程,方程甲: ,方程乙: .

(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务:

①完成下表(计算结果精确到0.1)(备注: 称为相应于点的残差(也叫随机误差));

租用单车数量(千辆)

2

3

4

5

8

每天一辆车平均成本(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.7

模型甲

估计值

2.4

2.1

1.6

残差

0

0.1

模型乙

估计值

2.3

2

1.9

残差

0.1

0

0

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和,并通过比较 的大小,判断哪个模型拟合效果更好.

(2)这个公司在该城市投放共享单车后,受到广大市民的热烈欢迎,共享单车常常供不应求,于是该公司研究是否增加投放,根据市场调查,这个城市投放8千辆时,该公司平均一辆单一天能收入10元,6元收入的概率分别为0.6,0.4;投放1万辆时,该公司平均一辆单车一天能收入10元,6元收入的概率分别为0.4,0.6,问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润?(按(1)中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本,利润=收入—成本).

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