Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，且a≠0），当x∈[-3，1]时，有f（x）≤0；当x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）时，有f（x）＞0，且f（2）=5．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若关于x的方程f（x）=9m+3有实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意知，-3，1是二次方程ax²+bx+c=0的两根，可设f（x）=a（x-1）（x+3）（a≠0），利用f（2）=5，可求a的值，从而可求f（x）的解析式；
（II）关于x的方程f（x）=9m+3有实数解，即关于x的方程x²+2x-9m-6=0有实数解，利用判别式可求实数m的取值范围．

解答：解：（I）由题意知，∵当x∈[-3，1]时，有f（x）≤0；当x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）时，有f（x）＞0
∴-3，1是二次方程ax²+bx+c=0的两根
可设f（x）=a（x-1）（x+3）（a≠0）
∵f（2）=5，
∴f（2）=5a=5，
∴a=1
∴f（x）的解析式为f（x）=x²+2x-3
（II）关于x的方程f（x）=9m+3有实数解，即关于x的方程x²+2x-9m-6=0有实数解
∴△=4+4（9m+6）≥0
∴m≥-

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点评：本题以不等式为载体，考查函数的解析式，考查方程有解，解题的关键是利用一元二次不等式与一元二次方程之间的关系．