Question

已知函数f（x）的导函数为f'（x）=4+3cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0，如果f（1-a）+f（1-a²）＜0，则实数a的取值范围是（　　）

• A．(1，

  2

  )
• B．（0，1）
• C．(-2，-

  2

  )
• D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：由-1＜x＜1可得，f′（x）=4+3cosx＞0，从而可得函数f（x）在（-1，1）单调递增，由f′（x）=4+3cosx为偶函数及f（0）=0可得f（x）为奇函数，而由f（1-a）+f（1-a²）＜0可得，f（1-a）＜-f（1-a²）=f（a²-1）从而可求a的范围．

解答：解：∵-1＜x＜1
∴0＜cos1＜cosx≤1，f′（x）=4+3cosx＞0，
∴函数f（x）在（-1，1）单调递增
∵f′（x）=4+3cosx为偶函数及f（0）=0可得f（x）为奇函数
由f（1-a）+f（1-a²）＜0可得，f（1-a）＜-f（1-a²）=f（a²-1）
即-1＜1-a＜a²-1＜1
解不等式可得，1＜a＜

2

故选A．

点评：本题主要结合导数与三角函数的简单性质考查了函数的单调性及奇偶性质进行解不等式，解题中要注意对所求问题的转化，属于知识的简单综合．