Question

10．过P（3，1）作圆C：（x-1）²+y²=1的两条切线PA，PB，切点分别为A、B．
（1）求直线AB的方程；
（2）若点Q为圆C上的任意一点，求PQ的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）求出以PC为直径的圆的方程，结合已知圆的方程，由圆系方程可求得两圆公共弦所在直线方程；
（2）设出M，Q的坐标，利用中点坐标公式把Q的坐标用M的坐标表示，代入已知圆的方程得答案．

解答 解：（1）圆C：（x-1）²+y²=1的圆心坐标为C（1，0），半径为1，
则PC的中点坐标为N（2，$\frac{1}{2}$），|PC|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-0）^{2}}=\sqrt{5}$，
∴以N为圆心，PC为直径的圆的方程为$（x-2）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{5}{4}$，
由（x-1）²+y²=1，得x²+y²-2x=0  ①，
由$（x-2）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{5}{4}$，得x²+y²-4x-y+3=0  ②，
①-②得：2x+y-3=0．
∴直线AB的方程为2x+y-3=0；
（2）设M（x，y），Q（x₁，y₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{2x={x}_{1}+3}\\{2y={y}_{1}+1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2x-3}\\{{y}_{1}=2y-1}\end{array}\right.$，即Q（2x-3，2y-1），
代入圆C：（x-1）²+y²=1得：（2x-4）²+（2y-1）²=1，
即$（x-2）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$．
∴PQ的中点M的轨迹方程是$（x-2）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查轨迹方程得求法，训练了代入法求曲线的轨迹方程，特别是（1）的求解，灵活运用圆系方程求出两圆公共弦所在直线方程，解法灵活，起到事半功倍的效果，是中档题．