Question

已知二次函数f（x）=ax²+x，若对任意x₁、x₂∈R，恒有2f（

x1+x2

2

）≤f（x₁）+f（x₂）成立，不等式f（x）＜0的解集为A．
（1）求集合A；
（2）设集合B={x||x+4|＜α}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由对任意x₁、x₂∈R，恒有2f（

x1+x2

2

）≤f（x₁）+f（x₂）成立，得出a≥0，进一步可知a＞0，从而可解不等式．
（2）通过集合A，B的关系得到两个集合端点的大小，列出不等式，求出a的范围

解答：解：（1）对任意x₁、x₂∈R，由f（x₁）+f（x₂）-2f（

x1+x2

2

）=

1

2

a(x1-x2)2≥0成立．
要使上式恒成立，所以a≥0．…（3分）
由f（x）=ax²+x是二次函数知a≠0，故a＞0．…（4分），
解得A=(-

1

a

，0)．…（5分）
（2）解得B=（-a-4，a-4），…（6分）
因为集合B是集合A的子集，所以a-4≤0…（8分）
且-a-4≥-

1

a

，…（11分）
化简a²+4a-1≤0，解得0＜a≤-2+

5

…（14分）

点评：本题是先给出新定义--凹函数，然后根据这个定义证明．这里主要考查学生接受新内容快慢的能力，将集合间的关系转化为端点的大小的思想方法．