Question

已知a₁=1，b₁=4，数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0，2a_n+1为b_n与b_n+1的等比中项，
（1）求a₂，b₂；
（2）求a_n及b_n．

Answer 1

分析：（1）题设有a₁+a₂-4a₁=0，a₁=1，4a₂²=b₂b₁，b₁=4，由此可求出a₂，b₂的值；
（2）由nS_n+1-（n+3）S_n=0得na_n+1=3S_n ①，再写一式（n-1）a_n=3S_n-1（n≥2）②①-②得na_n+1=（n+2）a_n，再用叠乘法求得an=

n(n+1)

2

(n∈N*)，利用2a_n+1为b_n与b_n+1的等比中项，可求得b_n=（n+1）²

解答：解：（1）由题设有a₁+a₂-4a₁=0，a₁=1解得a₂=3，由题设又有4a₂²=b₂b₁，b₁=4解得b₂=9
（2）nS_n+1-（n+3）S_n=0，
即na_n+1=3S_n ①
∴（n-1）a_n=3S_n-1（n≥2）②
①-②得na_n+1=（n+2）a_n，
∴an=

n+1

n-1

an-1(n≥2)
∴an=

n+1

n-1

×

n

n-2

×

n-1

n-3

×…

6

4

×

5

3

×

4

2

×

3

1

=

n(n+1)

2

(n≥2) a₁=1 也适合上式
∴an=

n(n+1)

2

(n∈N*)
由b_nb_n+1=4a²_n+1=（n+2）（n+1）² 得

bn

(n+1)2

×

bn+1

(n+2)2

=1，令

bn

(n+1)2

=xn，
即x_nx_n+1=1，∵x₁=1，∴x_n=1
∴b_n=（n+1）²

点评：本题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n项和公式、等比数列的概念、等比中项等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．