Question

已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax²＋1.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)如果对任意的x₁>x₂>0，总有≥2，求a的取值范围．

 

Answer 1

解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

③当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝

则当x∈(0, )时，f′(x)<0；

x∈( ，＋∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(0, ]上单调递减，

在[ ，＋∞)上单调递增．

(2)由已知，可得对任意的x₁>x₂>0，有x₁－x₂>0，

所以由，

得f(x₁)－f(x₂)≥2(x₁－x₂)，

即f(x₁)－2x₁≥f(x₂)－2x₂.

令g(x)＝f(x)－2x，又x₁>x₂，

故函数g(x)＝f(x)－2x在(0，＋∞)上单调递增．

所以g′(x)＝＋2ax－2≥0在(0，＋∞)上恒成立．

所以(＋2x)a≥2＋.

因为x>0，所以

令t＝2x＋1，则x＝，

又x>0，所以t>1.

故(*)式可化为.

即的最大值为.

故a的取值范围为[，＋∞)．