Question

已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且对任意x＞0,都有f(x)＜0,f(3)=-3.

(1)试证明函数y=f(x)是R上的单调减函数；

(2)试证明函数y=f(x)是奇函数；

(3)试求函数y=f(x)在［m,n］(m、n∈Z,且mn＜0)上的值域.

Answer 1

剖析:(1)可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件.

    (2)可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f(0)=0后，再利用条件f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂)中x₁、x₂的任意性，可使结论得证.

    (3)由(1）的结论可知f(m)、f(n)分别是函数y=f(x)在［m、n］上的最大值与最小值，故求出f(m)与f(n)就可得所求值域.

(1)证明:任取x₁、x₂∈R,且x₁＜x₂,f(x₂)=f［x₁+(x₂-x₁)］,

    于是由题设条件f(x+x′)=f(x)+f(x′)可知f(x₂)=f(x₁)+f(x₂-x₁).

    ∵x₂＞x₁,

    ∴x₂-x₁＞0.

    ∴f(x₂-x₁)＜0.

    ∴f(x₂)=f(x₁)+f(x₂-x₁)＜f(x₁).

    故函数y=f(x)是单调减函数.

(2)证明:∵对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),

    ∴若令x=x′=0,则f(0)=f(0)+f(0).

    ∴f(0)=0.

    再令x′=-x,

    则可得f(0)=f(x)+f(-x).

    ∵f(0)=0,

    ∴f(-x)=-f(x).

    故y=f(x)是奇函数.

(3)解:由函数y=f(x)是R上的单调减函数,

    ∴y=f(x)在［m,n］上也为单调减函数.

    ∴y=f(x)在［m,n］上的最大值为f(m),最小值为f(n).

    ∴f(n)=f［1+(n-1)］=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)=…=nf(1).

    同理，f(m)=mf(1).

    ∵f(3)=-3,

    ∴f(3)=3f(1)=-3.

    ∴f(1)=-1.

    ∴f(m)=-m,f(n)=-n.

    因此，函数y=f(x)在［m,n］上的值域为［-n,-m］.

讲评:(1)满足题设条件f(x+x′)=f(x)+f(x′)的函数,只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数.

    (2)若将题设条件中的x＞0，均有f(x)＜0改成均有f(x)＞0,则函数f(x)就是R上的单调增函数.

    (3)若题设条件中的m、n∈Z去掉，则我们就无法求出f(m)与f(n)的值，故m、n∈Z不可少.