Question

8．在△ABC中，$|\overrightarrow{AB}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=3$，∠A=45°，M为BC边上的中点，分别求下列各式的值：
（1）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，
（2）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$，
（3）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AM}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形．
（1）直接利用数量积公式得答案；
（2）把$\overrightarrow{BC}$用基底$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展开后结合（1）得答案；
（3）把$\overrightarrow{AM}$用基底$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展开后结合（1）得答案．

解答 解：如图，$|\overrightarrow{AB}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=3$，∠A=45°，M为BC边上的中点，
（1）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|cos45°$=2×$3×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$3\sqrt{2}$；
（2）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$=$3\sqrt{2}-4$；
（3）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}•\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$2+\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理，是中档题．