Question

19．已知f（x）=$\frac{ax-1}{{x}^{2}-1}$
（Ⅰ）解关于a的不等式$\frac{ax-1}{{{x^2}-1}}＞0$的解集是{a|a＞$\frac{1}{3}$}，求x的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式：$\frac{ax-1}{{{x^2}-1}}＞0$（a≤0）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得$\frac{\frac{1}{3}x-1}{{x}^{2}-1}$=0，求得x=3．
（Ⅱ）关于x的不等式：$\frac{ax-1}{{{x^2}-1}}＞0$（a≤0），即（ax-1）（x²-1）＞0，即（-ax+1）（x²-1）＜0，分类讨论a的范围，求得它的解集．

解答 解：（Ⅰ）由于关于a的不等式$\frac{ax-1}{{{x^2}-1}}＞0$的解集是{a|a＞$\frac{1}{3}$}，可得$\frac{\frac{1}{3}x-1}{{x}^{2}-1}$=0，求得x=3．
（Ⅱ）关于x的不等式：$\frac{ax-1}{{{x^2}-1}}＞0$（a≤0），即（ax-1）（x²-1）＞0，即 （-ax+1）（x²-1）＜0．
当-1＜a＜0 时，$\frac{1}{a}$＜-1，求得它的解集为{x|x＜$\frac{1}{a}$，或-1＜x＜1}．
a=-1时，不等式即$\frac{-（x+1）}{（x+1）（x-1）}$＞0，可得它的解集为{x|x＜1，且x≠-1}，
a＜-1时，0＞$\frac{1}{a}$＞-1，求得它的解集为{x|x＜-1，或$\frac{1}{a}$＜x＜1}．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．