Question

已知函数f(x)=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则圆x²+y²=b-a的面积的最小值是

 

．

Answer 1

分析：利用导数判断函数f（x）单调性，再利用函数零点的判定定理判断函数是否存在零点零点，利用平移变换找出F（x）与f（x）的零点之间的关系即可．

解答：解：∵f^′（x）=1-x+x²+…+x²⁰¹²，①x=0时，f^′（0）=1＞0；②当x=-1时，f^′（-1）=2013＞0；
③当x≠0，-1时，f^′（x）=

1-(-x)2013

1-(-x)

=

1+x2013

1+x

，无论x＞-1，还是x＜-1，都有f^′（x）＞0．
综上可知：对?x∈R，都有f^′（x）＞0．∴函数f（x）单调递增，也就是说，函数f（x）至多有一个零点．
另一方面：f（0）=1＞0，f（-1）═0-

1

2

-

1

3

-…-

1

2013

＜0，∴f（0）f（-1）＜0，
由函数零点的判定定理可知：函数f（x）的零点x₀∈（-1，0）．
综上可知：函数f（x）有且只有一个零点x₀∈（-1，0）．
又F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，∴函数F（x）的零点x0′必在区间（-5，-4）内．
又（-5，-4）?[a，b]，（a＜b，a，b∈Z），∴b-a的最小值为1．
∴圆x²+y²=b-a的面积的最小值是π×1²=π．
故答案为π．

点评：熟练掌握导数研究函数的单调性、函数零点的判定定理及平移变换是解题的关键．