Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数f(x)=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

，当f（B）取最大值

3

2

时，判断△ABC的形状；
（Ⅲ）求函数的最小正周期和最大值及最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）将函数解析式两项分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，表示出f（B），根据A的度数，得出B的范围，求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质求出f（B）取得最大值时B的度数，可得出此时C的度数，进而判断出此三角形为等边三角形；
（Ⅲ）由第二问得出的函数解析式，找出ω的值，代入周期公式，即可求出函数的最小正周期；根据正弦函数的值域为[-1，1]，求出函数的值域，即可得到函数的最小值与最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

=sin（x+

π

6

）+

1

2

，
∴f（B）=sin（B+

π

6

）+

1

2

，
∵A=

π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴当B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，f（B）有最大值是

3

2

，
又∵A=

π

3

，∴C=

π

3

，
∴△ABC为等边三角形；
（Ⅲ）∵ω=1，
∴T=2π；
∵-1≤sin（x+

π

6

）≤1，
∴-

1

2

≤sin（x+

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，
则函数的最大值为

3

2

，最小值为-

1

2

．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．