Question

关于图中的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，下列说法正确的有：

①②③

．
①P点在线段BD上运动，棱锥P-AB₁D₁体积不变；
②一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；
③一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则此四边形必有一边平行；
④平面α截正方体得到一个六边形（如图），则截面α在平面AB₁D₁与平面BDC₁间平行移动时此六边形周长先增大，后减小．

Answer 1

分析：根据BD∥底面BDAB₁D₁，即P点在线段BD上运动时，棱锥的底面大小和高保持不变，可判断①的真假；
令截面为三角形，令用余弦定理判断截面各角的大小，可判断②的真假；
令截面为四边形，结合正方体的几何特征和面面平行的性质定理，可判断③的真假；
根据截面α在平面AB₁D₁与平面BDC₁间平行移动时此六边形周长不变，可判断④的真假．

解答：解：∵BD∥B₁D₁，则BD∥底面BDAB₁D₁，即P点在线段BD上运动时，棱锥的底面大小和高保持不变，故棱锥P-AB₁D₁体积不变，即①正确；
如一个平面α截此正方体，如果截面是三角形A₂B₂C₂，OA₂=a，OB₂=b，OC₂=c，
则A₂C₂²=a²+c²，A₂B₂²=a²+b²，B₂C₂²=b²+c²，
∴cos∠C₂A₂B₂=

2a2

2(a2+c2)•(a2+b2)

＞0，∴∠C₂A₂B₂为锐角，
同理∠A₂C₂B₂与∠A₂B₂C₂也为锐角，所以△A₂B₂C₂为锐角三角形，故②正确；
一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则它一定会与正方体一组对面相交，根据正方体对面平行及平面平行的性质定理，可得这两条交线一定平行，故③正确；
平面α截正方体得到一个六边形（如图），则截面α在平面AB₁D₁与平面BDC₁间平行移动时此六边形周长保持不变，故④错误
故答案为：①②③

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了正方体的几何特征，熟练掌握正方体模型中包含的线面长度及位置关系是解答的关键．