Question

已知平面向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ）（α、β∈R）．当α=

π

2

，β=

π

6

时，

a

•

b

的值为

 

；若

a

=λ

b

，则实数λ的值为

 

．

Answer 1

分析：由向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），根据平面向量的数量积运算公式，我们可将

a

•

b

变形为两角差的余弦，然后将α=

π

2

，β=

π

6

代入即可得到第一空的答案；再根据

a

=λ

b

，则表示向量

a

、

b

共线，又由

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ）我们易得，|

a

|=|

b

|=1，则

a

与

b

同向或反向，由向量相等或相反的定义，易求出实数λ的值．

解答：解：∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴

a

•

b

=cosα×cosβ-sinα×sinβ=cos（α-β），
当α=

π

2

，β=

π

6

时，

a

•

b

=cos（

π

2

-

π

6

）=cos

π

3

=

1

2

∵当

a

=λ

b

时，向量

a

、

b

共线
又∵|

a

|=|

b

|=1
∴

a

与

b

同向或反向
∴

a

=±

b

故λ=±1
故答案为：

1

2

，±1

点评：熟练掌握平面向量的数量积公式是解答向量数量积问题的关键，其公式可简记为“横乘横加纵乘纵”而若

a

=λ

b

表示两个向量共线（平行）是解决向量共线（平行）问题最常用的性质．