Question

已知平面向量

a

，

b

，

c

满足|

a

|=1，|

b

|=2，

a

，

b

的夹角等于

π

3

，且（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，则|

c

|的取值范围是

[

7 - 3

2

，  

7 + 3

2

]

．

Answer 1

分析：由条件可得

c

2=|

a

 +

b

|•|

c

|cosα-1，α为

a

 +

b

与

c

的夹角，再由 (

a

 +

b

)2=

7

求出|

a

 +

b

|=

7

，解得cosα=

c 2+1

7 | c |

．由于 0≤α≤π，-1≤cosα≤1，可得

c 2+1

7 | c |

≤1，即 |

c

|2-

7

|

c

|+1≤0，由此求得|

c

|的取值范围是．

解答：解：由（

a

 -

c

）•（

b

 -

c

）=0 可得

c

2=（

a

 +

b

）•

c

-

a

•

.

b

=|

a

 +

b

|•|

c

|cosα-1×2cos

π

3

=|

a

 +

b

|•|

c

|cosα-1，α为

a

 +

b

与

c

的夹角．
再由 (

a

 +

b

)2=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=1+4+2×1×2cos

π

3

=7 可得|

a

 +

b

|=

7

，
∴

c

2=

7

|

c

|cosα-1，解得cosα=

c 2+1

7 | c |

．
∵0≤α≤π，∴-1≤cosα≤1，∴

c 2+1

7 | c |

≤1，即|

c

|2-

7

|

c

|+1≤0．
解得 

7 - 3

2

≤|

c

|≤

7 + 3

2

，
故答案为[

7 - 3

2

，  

7 + 3

2

]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式的应用，解一元二次不等式，属于中档题．