Question

已知点F为双曲线

x2

16

-

y2

9

=1右焦点，M是双曲线右支上的一动点，A（5，4），则4MF-5MA的最大值为

 

．

Answer 1

分析：由双曲线的定义可得 4MF-5MA=4•

5

4

MN-5 MA=5（MN-MA），故当M，A，N 三点共线时，5（MN-MA）最大，
最大值为 5AN=5（5-

16

5

 ）．

解答：解：点F（5，0），离心率e=

5

4

，设M到右准线的距离等于MN，则由双曲线的定义可得
 4MF-5MA=4•

5

4

MN-5 MA=5（MN-MA），故当M，A，N 三点共线时，5（MN-MA）最大，
最大值为 5AN=5（5-

16

5

 ）=9，
故答案为：9．

点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断当M，A，N 三点共线时，5（MN-MA）最大，是解题的关键．