Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，其右顶点和上顶点分别为AB原点到直线的距离为

2 5

5

（1）求椭圆方程；
（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意列关于a，b的关系式，结合离心率、隐含条件求得a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，求出P，Q的坐标，由点B始终在以PQ为直径的圆内得到

BP

•

BQ

＜0，由此求得实数k的取值范围．

解答： 解：（1）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点为（a，0），上顶点为（0，b），
则过右顶点和上顶点的直线方程为bx+ay-ab=0，
则

|-ab|

a2+b2

=

2 5

5

，又

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，解得：a²=4，b²=1．
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
（2）联立

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1=-2，x2=

2-8k2

1+4k2

，y1=0，y2=

4k

1+4k2

，
由点B始终在以PQ为直径的圆内，则∠PBQ为钝角或平角，
即

BP

•

BQ

＜0，
∵B（0，1），P（-2，0），Q（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），

BP

=(-2，-1)，

BQ

=(

2-8k2

1+4k2

，

4k-1-4k2

1+4k2

)，

BP

•

BQ

=

20k2-4k-3

1+4k2

＜0，解得：-

3

10

＜k＜

1

2

．
∴实数k的取值范围是(-

3

10

，

1

2

)．

点评：本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，考查了函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，训练了利用平面向量数量积求解几何问题，是中档题．