【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,试讨论函数
零点的个数;
(3)在(2)的条件下,若有两个零点
,
,求证:
.
【答案】(1)当时,
在
上单调递减;当
时,
在
上单调递增,在
单调递减;(2) 当
时,
恰有一个零点:当
时,
没有零点;当
时,
有两个零点;(3)见解析
【解析】
(1)求导后,分别在和
两种情况下讨论导函数的符号,从而得到函数的单调性;(2)利用导数判断出函数的单调性,求得函数最大值为
,分别在
,
,
三种情况下,结合零点存在定理判断出零点个数;(3)根据零点的定义可求得
,令
,
,可将
整理为
;令
,
,可求得
,结合
即可证得结论.
(1)由题意得:
当时,
在
上恒成立
则在
上单调递减
当时,若
,
,;若
,
即在
上单调递增;在
上单调递减
综上所述:当时,
在
上单调递减;
当时,
在
上单调递增,在
单调递减
(2)当时,
,则
令,解得:
当时,
,则
在
上单调递减
当时,
,则
在
上单调递增
①当,即
时,当且仅当
时,
,
恰有一个零点;
②当,即
时,
恒成立,
没有零点:
③当,即
时,
,
,
,
有两个零点
综上:当时,
恰有一个零点:当
时,
没有零点;当
时,
有两个零点
(3)证明:
由题意知:,即
记,
,则
,故
,
记函数,
则
在
上单调递增
当
时,
由(2)知,
又
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【题目】如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB,且ABBP
2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.
(1)求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值;
(2)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程与圆
的直角坐标方程;
(2)设动点在圆
上,动线段
的中点
的轨迹为
,
与直线
交点为
,且直角坐标系中,
点的横坐标大于
点的横坐标,求点
的直角坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】是亚太区域国家与地区加强多边经济联系、交流与合作的重要组织,其宗旨和目标是“相互依存、共同利益,坚持开放性多边贸易体制和减少区域间贸易壁垒.”2017年
会议于11月10日至11日在越南岘港举行.某研究机构为了了解各年龄层对
会议的关注程度,随机选取了100名年龄在
内的市民进行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分组区间分别为
,
,
,
,
).
(1)求选取的市民年龄在内的人数;
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人参与会议的宣传活动,求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在
内的概率.
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【题目】近年来,随着互联网的发展,诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各城市迅猛发展,为人们出行提供了便利,但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在省的发展情况,
省某调查机构从该省抽取了5个城市,分别收集和分析了网约车的
,
两项指标数
,数据如下表所示:
城市1 | 城市2 | 城市3 | 城市4 | 城市5 | |
| 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
经计算得:,
,
.
(1)试求与
间的相关系数
,并利用
说明
与
是否具有较强的线性相关关系(若
,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);
(2)建立关于
的回归方程,并预测当
指标数为7时,
指标数的估计值;
(3)若城市的网约车指标数
落在区间
之外,则认为该城市网约车数量过多,会对城市交通管理带来较大的影响,交通管理部门将介入进行治理,直至
指标数
回落到区间
之内.现已知2018年11月该城市网约车的
指标数为13,问:该城市的交通管理部门是否要介入进行治理?试说明理由.
附:相关公式:,
,
.
参考数据:,
.
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【题目】某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保费 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
频数 | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
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