【题目】已知函数,
(
且
),
.
(1)若函数在
上的最大值为1,求
的值;
(2)若存在使得关于
的不等式
成立,求
的取值范围.
【答案】(1)或
;(2)
【解析】
(1)利用导数结合定义域讨论出函数的单调区间,根据单调区间求出函数的最小值,从而解出的范围;
(2)关于的不等式
存在
成立,等价于不等式
在
有解,令
,对函数
求导,求出函数
在
上的单调区间,从而求出
的最小值,即可求出
的取值范围。
(1)因为,令
,
,
,
当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
所以在区间
上的最大值为
,令
,解得
.
当,
,
当时,
在
上单调递增,
上单调递减,
上单调递增,
所以最大值1可能在或
处取得,
而,
所以,解得
.
当时,
在区间
上单调递增,
上单调递减,
上单调递增,
所以最大值1可能在或
处取得,
而,
所以,
解得,与
矛盾.
当时,
在区间
上单调递增,在
单调递减,
所以最大值1可能在处取得,而
,矛盾.
综上所述,或
.
(2)关于的不等式
存在
成立,
等价于不等式在
有解,
设,
,
,
当即
时,
递增,当
,即
时,
递减,
又,
,∵
,∴
.
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【题目】已知椭圆:
过点
,且两个焦点的坐标分别为
,
.
(1)求的方程;
(2)若,
,
为
上的三个不同的点,
为坐标原点,且
,求证:四边形
的面积为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2018年2月9-25日,第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后,第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会,某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了120名学生,对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查,统计数据如下:
收看 | 没收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
(Ⅰ)根据上表说明,能否有的把握认为,收看开幕式与性别有关?
(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中,采用按性别分层抽样的方法选取8人,参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.
(ⅰ)问男、女学生各选取多少人?
(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍,求恰好选到一名男生一名女生的概率P.
附:,其中
.
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【题目】2017 高考特别强调了要增加对数学文化的考查,为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为分),并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了
名学生的成绩,按照成绩为
分成了
组,制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于
分).
(1)求频率分布直方图中的的值,并估计所抽取的
名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)若高三年级共有名学生,试估计高三学生中这次测试成绩不低于
分的人数;
(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于分的三组学生中抽取
人,再从这
人中随机抽取
人参加这次考试的考后分析会,试求后两组中至少有
人被抽到的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着食品安全问题逐渐引起人们的重视,有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎,同时生产—运输—销售一体化的直销供应模式,不仅减少了成本,而且减去了蔬菜的二次污染等问题.
(1)在有机蔬菜的种植过程中,有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系,每个有机蔬菜大棚产量的增加量(百斤)与使用堆沤肥料
(千克)之间对应数据如下表
使用堆沤肥料 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
产量的增加量 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
依据表中的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;并根据所求线性回归方程,估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克,则每个有机蔬菜大棚产量增加量
是多少百斤?
(2)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客,如果当天前8小时卖不完,则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验,当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再进货).该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量(单位:份),制成如下表格(注:,且
);
前8小时内的销售量(单位:份) | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
频数 | 10 | x | 16 | 6 | 15 | 13 | y |
若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率,该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据,当购进17份比购进18份的利润的期望值大时,求的取值范围.
附:回归直线方程为,其中
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】把函数的图象向右平移一个单位,所得图象与函数
的图象关于直线
对称;已知偶函数
满足
,当
时,
;若函数
有五个零点,则
的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
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