Question

（2008•湖北模拟）已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值范围是（　　）

• A．(0，π)∪(

  2

  3

  π，2π)
• B．(0，

  π

  2

  )∪(π，

  3

  2

  π)
• C．(

  π

  4

  ，

  π

  2

  )∪(

  5

  4

  π，

  3

  2

  π)
• D．(

  π

  2

  ，

  3

  4

  π)∪(

  5

  4

  π，

  3

  2

  π)

Answer 1

分析：由已知的sinθ＜tanθ，移项并利用同角三角函数间的基本关系变形后得到tanθ（1-cosθ）大于0，由余弦函数的值域得到1-cosθ大于0，从而得到tanθ大于0，可得出θ为第一或第三象限，若θ为第一象限角，得到sinθ和cosθ都大于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的范围；若θ为第三象限角，得到sinθ和cosθ都小于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的范围，综上，得到满足题意的θ的范围．

解答：解：∵sinθ＜tanθ，即tanθ-sinθ＞0，
∴tanθ（1-cosθ）＞0，
由1-cosθ＞0，得到tanθ＞0，
当θ属于第一象限时，sinθ＞0，cosθ＞0，
∴|cosθ|＜|sinθ|化为cosθ＜sinθ，即tanθ＞1，
则θ∈（

π

4

，

π

2

）；
当θ属于第三象限时，sinθ＜0，cosθ＜0，
∴|cosθ|＜|sinθ|化为-cosθ＜-sinθ，即tanθ＞1，
则θ∈（

5π

4

，

3π

2

），
综上，θ的取值范围是(

π

4

，

π

2

)∪(

5

4

π，

3

2

π)．
故选C

点评：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有同角三角函数间的基本关系，象限角的范围，以及特殊角的三角函数值，根据题意利用不等式的基本性质及同角三角函数间的基本关系得出tanθ＞0是解本题的关键．