Question

12．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$csinC．
（1）求cosC；
（2）若a=6，b=8，求边c的长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理和两角和的正弦公式化简已知的等式，由锐角的范围和平方关系求出cosC；
（2）根据条件和余弦定理求出边c的长．

解答 解：（1）∵acosB+bcosA=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$csinC，
∴由正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$sinCsinC，
则sin（A+B）=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$sinCsinC，
由sin（A+B）=sinC＞0得，sinC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵C是锐角，∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{2}{3}$；
（2）∵a=6，b=8，cosC=$\frac{2}{3}$，
∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC
=36+64-2×6×$8×\frac{2}{3}$=36，
解得c=6．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式，以及三角函数值的符号，注意角的范围．