Question

3．已知函数f（x）=Asinx+cosx，A＞0．
（1）若A=1，求f（x）的单调递增区间；
（2）函数f（x）在x=x₀处取得最大值$\sqrt{13}$，求cosx₀ 的值．

Answer 1

分析 （1）由题意利用两角和的正弦函数公式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．
（2）由两角和的正弦函数公式可得f（x）=$\sqrt{{A}^{2}+1}$sin（x+φ），其中tanφ=$\frac{1}{A}$，由题意可求sin（x₀+φ）=1，其中tanφ=$\frac{1}{A}$，$\sqrt{{A}^{2}+1}$=$\sqrt{13}$，进而解得A，sinφ的值，解得x₀=2kπ+$\frac{π}{2}$-φ，k∈Z，利用诱导公式即可解得cosx₀ 的值．

解答 解：（1）∵由题意可得：f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
可得单调递增区间为：[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（2）∵f（x）=Asinx+cosx=$\sqrt{{A}^{2}+1}$sin（x+φ），其中tanφ=$\frac{1}{A}$，
且函数f（x）在x=x₀处取得最大值$\sqrt{13}$，
∴sin（x₀+φ）=1，其中tanφ=$\frac{1}{A}$，$\sqrt{{A}^{2}+1}$=$\sqrt{13}$，
∴由A＞0，解得：A=2$\sqrt{3}$，sinφ=$\frac{1}{\sqrt{{A}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，
x₀+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴x₀=2kπ+$\frac{π}{2}$-φ，k∈Z，
∴cosx₀ =cos（2kπ+$\frac{π}{2}$-φ）=sinφ=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．