Question

       (本题满分14分)设a为实数，函数,x

(1) 当a= 0时，求的极大值、极小值；

(2) 若x>0时，，求a的取值范围；.

(3) 若函数在区间（0,1)上是减函数，求a的取值范围.

Answer 1

解 （1）当a = 0时，f（x）= x³－3x²－9x，f '（x）= 3x²－6x－9 = 3（x + 1）（x－3），列表如下：

x	…	（－∞，－1）	－1	（－1，3）	3	（3，+∞）	…
f '(x)	…	+	0	－	0	+	…
f (x)	…	↗	极大值	↘	极小值	↗	…

所以f（x）的极大值为f（－1）= 5，极小值为f（3）=－27．  ……………… 4分

（2）f（x）= x³－3（1－a）x² +（a² + 8a－9）x = x ， 令 g（x）= x²－3（1－a）x + a² + 8a－9，则问题等价于当x＞0时，g（x）= x²－3（1－a）x + a² + 8a－9≥0，求a的取值范围．

ⅰ）若二次函数g（x）的对称轴＜0，即a＞1时，根据图象，只需g（0）≥0，即a² + 8a－9≥0，解得a≤－9或a≥1．结合a＞1，得a＞1．

ⅱ）若二次函数g（x）的对称轴≥0，即a≤1时，根据图象，只需△= 9（1－a）²－4（a² + 8a－9）≤0，解得1≤a≤9．结合a≤1，得a = 1．

故当x＞0时，f（x）≥0，实数a的取值范围是a≥1．       ……………… 9分

（3）要使函数f（x）在（0，1）上是减函数，只需f '（x）在（0，1）上恒小于0，因为 f '（x）= 3x²－6（1－a）x + a² + 8a－9，其二次项系数为3，从而只需f（0）≤0，且 f（1）≤0，

即   解得

易知＜1， 所以 －9≤a≤．

综上所述，若函数f（x）在（0，1）上是减函数，则a的取值范围是－9≤a≤．

……………… 14分