Question

【题目】如图，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动．

(1)当P是AB的中点，且2|CQ|＝|QD|时，求|PQ|的值；

(2)当Q是棱CD的中点时，试求|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1) (2) 点P的坐标为(), 最小值为.

【解析】

(1)根据正方体的性质可得的坐标，由两点间的距离公式计算可得结果；(2)根据题意，设点的横坐标为,得＝．由，可得＝＝，可得的坐标为，进而可以用表示的长，结合二次函数的性质分析可得结果.

(1)因为正方体的棱长为1，P是AB的中点，所以P().

因为2|CQ|＝|QD|，所以|CQ|＝，所以Q(0,1,).

由两点间的距离公式得：

|PQ|＝＝.

(2)如图，过点P作PE⊥OA于点E，则PE垂直于坐标平面xOy.

设点P的横坐标为x，则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x.

由正方体的棱长为1，得|AE|＝ (1－x)．

因为，

所以|PE|＝＝1－x，

所以P(x，x,1－x)．

又因为Q(0,1,)，

所以|PQ|＝

所以当x＝时，|PQ|min＝，即当点P的坐标为()，

即P为AB的中点时，|PQ|的值最小，最小值为.