Question

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G为△PAC重心，E为PB的中点，F在BC上，且CF=2FB．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：FG⊥AC．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接CG交AP于M点，连接BM．
∵，∴FG∥BM，
又BM?平面PAB，FG?平面PAB
∴FG∥平面PAB．
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，
又∵AC⊥AB，PA∩AB=A．
∴AC⊥平面PAB，
∴AC⊥BM，
∵FG∥BM，
∴FG⊥AC．
分析：（Ⅰ）利用重心定理及线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）由（1）可知：FG∥BM，因此只要证明AC⊥BM即可，这可以通过证明AC⊥平面PAB来证得．
点评：熟练掌握重心定理及线面平行、垂直的判定定理及性质定理是解决问题的关键．