Question

（2007•湛江二模）如图，F是定直线l外的一个定点，C是l上的动点，有下列结论：若以C为圆心，CF为半径的圆与l相交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与圆C过F的切线相交于点P和点Q，则必在以F为焦点，l为准线的同一条抛物线上．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；
（Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：“若过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请问：此命题是正确？试证明你的判断；
（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并证明其真假．（只选择一种曲线解答即可，若两种都选，则以第一选择为平分依据）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由切线长相等可想过F作l的垂线交l于K，以KF的中点为原点，KF所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则抛物线为以F为焦点，l为准线的抛物线，由抛物线的定义可得抛物线的方程；
（Ⅱ）设出PQ的中点坐标，再分别设出P、Q、M在抛物线准线l上的射影分别为A、B、D，因为PQ是抛物线过焦点F的弦，由梯形中位线知识结合抛物线的定义可得以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切；
（Ⅲ）选择椭圆类比（Ⅱ）所写出的命题为：
“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆与椭圆相应的准线l相离”．
证明时由梯形中位线知识结合椭圆第二定义列式得到|MD|=

|PA|+|QB|

2

=

1

2

(

|PF|

e

+

|QF|

e

)=

|PQ|

2e

＞

|PQ|

2

从而问题得到证明，同样选择双曲线进行类比．

解答：解：（Ⅰ）过F作l的垂线交l于K，以KF的中点为原点，KF所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图1，
并设|KF|=p，则可得该抛物线的方程为 y²=2px（p＞0）；
（Ⅱ）该命题为真命题，证明如下：
如图2，设PQ中点为M，P、Q、M在抛物线准线l上的射影分别为A、B、D，
∵PQ是抛物线过焦点F的弦，
∴|PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB的中位线，
∴|MD=

1

2

(|PA|+|QB|)=

1

2

(|PF|+|QF|)=

|PQ|

2

．
∵M是以PQ为直径的圆的圆心，
∴圆M与l相切．
（Ⅲ）选择椭圆类比（Ⅱ）所写出的命题为：
“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆与椭圆相应的准线l相离”．
此命题为真命题，证明如下：
证明：设PQ中点为M，椭圆的离心率为e，
则0＜e＜1，P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D，
∵

|PF|

PA

=e，∴|PA|=

|PF|

e

，同理得|QB|=

|QF|

e

．
∵MD是梯形APQB的中位线，
∴|MD|=

|PA|+|QB|

2

=

1

2

(

|PF|

e

+

|QF|

e

)=

|PQ|

2e

＞

|PQ|

2

，
∴圆M与准线l相离．
选择双曲线类比（Ⅱ）所写出的命题为：
“过双曲线一焦点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆与双曲线相应的准线l相交”．
此命题为真命题，证明如下：
证明：设PQ中点为M，椭圆的离心率为e，
则e＞1，P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D，
∵

|PF|

PA

=e，∴|PA|=

|PF|

e

，同理得|QB|=

|QF|

e

．
∵MD是梯形APQB的中位线，
∴|MD|=

|PA|+|QB|

2

=

1

2

(

|PF|

e

+

|QF|

e

)=

|PQ|

2e

＜

|PQ|

2

，
∴圆M与准线l相交．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查了数形结合的思想方法，综合考查了学生的类比推理能力和计算能力，是有一定难度题目．