Question

1．如图，已知AA₁⊥平面ABC，BB₁∥CC₁∥AA₁，$AC=\sqrt{3}$，$BC=\sqrt{2}$，AA₁=2BB₁=2CC₁=2，BC⊥AC．
（1）求证：B₁C₁⊥平面A₁ACC₁；
（2）求直线AB₁与平面A₁B₁C₁所成的角．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面A₁ACC₁，BC∥B₁C₁，即可证明：B₁C₁⊥平面A₁ACC₁；
（2）取A₁C₁中点D，连AD，连接B₁D，可得∠AB₁D是直线AB₁与平面A₁B₁C₁所成的角，即可求直线AB₁与平面A₁B₁C₁所成的角．

解答 （1）证明：∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥AA₁…（2分）
∵BC⊥AC，AA₁，AC是平面A₁ACC₁内的两条相交直线   …（4分）
∴BC⊥平面A₁ACC₁
∵BB₁∥CC₁，且BB₁=CC₁=1，∴四边形C₁CBB₁是平行四边形
∴BC∥B₁C₁…（5分）
∴B₁C₁⊥平面A₁ACC₁…（6分）
（2）解：连接AC₁，在直角△ACC₁中，AC₁=2，在直角梯形A₁ACC₁中，A₁C₁=2
∴△AA₁C₁是边长为2的正三角形，取A₁C₁中点D，连AD，则AD⊥A₁C₁且$AD=\sqrt{3}$…（7分）
∵B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，AD?平面A₁ACC₁，∴AD⊥B₁C₁
∵A₁C₁∩B₁C₁=C₁，
∴AD⊥平面A₁B₁C₁，
连接B₁D，∴∠AB₁D是直线AB₁与平面A₁B₁C₁所成的角．
在直角△ABC中，AB=$\sqrt{5}$，又AB₁=$\sqrt{6}$，
∴在直角△AB₁D中，$sin∠A{B_1}D=\frac{AD}{{A{B_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴∠AB₁D=45°…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．