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已知圆M过定点D(0,2),圆心M在二次曲线y=
1
4
x2
上运动.
(1)若圆M与y轴相切,求圆M方程;
(2)已知圆M的圆心M在第一象限,半径为
5
,动点Q(x,y)是圆M外一点,过点Q与 圆M相切的切线的长为3,求动点Q(x,y)的轨迹方程;
(3)若圆M与x轴交于A,B两点,设|AD|=a,|BD|=b,求
b
a
的取值范围?
分析:(1)圆心M(±2
2
,2)
,半径r=2
2
,由此能求出圆M方程.
(2)设圆心M(2
m
,m)
,则|MD|=
4m+(m-2)2
=
5
.由此得到圆M的方程为:(x-2)2+(y-1)2=5.设QP于圆M相切,切点为P,则|QM|2=|QP|2+|MP|2=14,由此能求出动点Q的轨迹方程.
(3)设圆心M(2m,m2),可知圆M方程为:(x-2m)2+(y-m22=4m2+(m2-2)2,取y=0,得x=2m±2,取A(2m+2,0),B(2m-2,0),则(
b
a
)2=
(2m-2)2+4
(2m+2)2+4
=1-4•
m
m2+2m+2
,由此能求出
b
a
的取值范围.
解答:解:(1)设圆心M(x,y),
∵圆M过定点D(0,2),且圆M与y轴相切,
∴直线MD⊥y轴,
kMD=
y-2
x-0
=0

∴y=2,
∵圆心M在二次曲线y=
1
4
x2
上运动,
∴M(x,2)在y=
1
4
x2
上,
∴2=
1
4
x2

解得x=±2
2

∴圆心M(±2
2
,2)
,半径r=|DM|=
(±2
2
-0)
2
+(2-2)2
=2
2

∴圆M方程为:(x±2
2
)2+(y-2)2=8
.…(4分)
(2)设圆心M(2
m
,m)

|MD|=
4m+(m-2)2
=
5

解得m=1,
所以圆M的方程为:(x-2)2+(y-1)2=5
设QP于圆M相切,切点为P,
则|QM|2=|QP|2+|MP|2=14
所以动点Q的轨迹方程是(x-2)2+(y-1)2=14….(9分)
(3)设圆心M(2m,m2),
可知圆M方程为:(x-2m)2+(y-m22=4m2+(m2-2)2
取y=0得x=2m±2,
不妨取A(2m+2,0),B(2m-2,0),
(
b
a
)2=
(2m-2)2+4
(2m+2)2+4
=1-4•
m
m2+2m+2

若m≠0,
m
m2+2m+2
=
1
m+
2
m
+2
∈[-
2
+1
2
,0)∪(0,
2
-1
2
]

(
b
a
)2∈[3-2
2
,3+2
2
]

故所求
b
a
的取值范围为[
2
-1,
2
+1]
…..(14分)
点评:本题考查圆的方程的综合应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,点P到点F的距离等于点P到直线l的距离.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于A、B两点,求|AB|.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于A、B两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求
l1
l2
+
l2
l1
的最大值.

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已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且
QP
QF
=
FP
FQ
,动点P的轨迹为C,已知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于A、B两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,则
l1
l2
+
l2
l1
的最大值为
2
2
2
2

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科目:高中数学 来源:2012年浙江省高考数学冲刺试卷Ⅳ(理科)(解析版) 题型:解答题

已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于A、B两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求的最大值.

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