Question

已知函数f(x)=|2x+

a2+2a

x

-4a|，若f（x）在（0，+∞）上存在极大值点，则实数a的取值范围是

a＞2

．

Answer 1

分析：利用函数y=x+

a

x

的单调性解题，当x＞0时，函数y=x+

a

x

在(0，

a

)递减，在(

a

，+∞)递增，则函数在x=

a

处取得极小值，要使f（x）在（0，+∞）上存在极大值点，则只需极小值小于0即可．

解答：解：设g(x)=2x+

a2+2a

x

-4a=2(x+

a2+2a 2

x

)-4a，要想使函数有极值，则有a²+2a＞0，此时a＞0或a＜-2．
此时函数g（x）在

a2+2a 2

取得极小值，此时最小值为g(x)=2x+

a2+2a

x

-4a≥2

2x? a2+2a x

-4a=2

2(a2+2a)

-4a，
所以当极小值2

2(a2+2a)

-4a＜0时，加上绝对值极小值变为极大值，由2

2(a2+2a)

-4a＜0解得a＞2，所以实数a的取值范围是a＞2．
故答案为：a＞2

点评：本题考查函数的极值与导数的关系，以及基本不等式的应用．对应函数y=x+

a

x

的单调性要求掌握，当x＞0时，函数y=x+

a

x

在(0，

a

)递减，在(

a

，+∞)递增，则函数在x=

a

处取得极小值，要熟练掌握其应用．