Question

【题目】已知椭圆的短轴长为2，离心率，

（1）求椭圆方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，与圆相切于点，

①证明：（其中为坐标原点）；

②设，求实数的取值范围..

Answer 1

【答案】（1）（2）①证明见解析②

【解析】

(1)由题意可列出三个关于的方程：，解方程后即可得椭圆方程；

(2)①根据圆心到直线的距离等于圆的半径，得与的等量关系，要证明，只需证明即可，从而将数量积转化为坐标运算，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理消去坐标，得到关于的代数式，再利用前面与的等量关系即可达到目的；

②直线与椭圆交于不同的两点，将代入椭圆的方程得，再由圆的垂径定理可得，结合得到，由的范围可求得实数的取值范围.

解（1）∵∴

又

∴

∴椭圆的方程为

①∵直线与相切

∴，即

由消去得

设

则

∵

∴.

②∵直线与椭圆交于不同的两点，

∴

∴

由(2)①知

∴即

∴

又

∴的取值范围为.