【题目】等差数列首项和公差都是
,记
的前n项和为
,等比数列
各项均为正数,公比为q,记
的前n项和为
:
(1)写出构成的集合A;
(2)若将中的整数项按从小到大的顺序构成数列
,求
的一个通项公式;
(3)若q为正整数,问是否存在大于1的正整数k,使得同时为(1)中集合A的元素?若存在,写出所有符合条件的
的通项公式,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)n为奇数,
;n为偶数,
;(3)存在;
或
或
.
【解析】
(1)直接由等差数列的求和公式得到,再把
分别代入,即可求出集合
;(2)写出
,根据整数项构成
,得到
或
为
的整数倍,从而得到
的通项;(3)根据
的前n项和为
,根据
同时为(1)中集合A的元素,进行分类讨论,从而得到
的通项公式.
(1)因为等差数列的首项和公差都是
,
所以.
把分别代入上式,
得到;
(2)由(1)得,
因为中的整数项按从小到大的顺序构成数列
,
所以或
为
的整数倍,
①当,即
时,
此时是
的奇数项,所以
所以,
②当时,
此时是
的偶数项,所以
所以
综上所述,为奇数,
;
为偶数,
;
(3)①当时,
,
,
所以,
同时为(1)中集合A的元素,
所以,
,得
,
所以,
所以;
②当时,
,
所以,
因为为正整数,正整数
大于
,
所以i)当时,
,
得到,此时
,
,
所以,得
,
故;
ii)当时,
,得
,此时
,
,
所以,得
,
故;
iii)当,
,
时,找不到满足条件的
.
综上所述,存在符合条件的,
通项公式为:
或
或
.
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【题目】已知椭圆的两个焦点为
、
,
是
与
的等差中项,其中
、
、
都是正数,过点
和
的直线与原点的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)点是椭圆上一动点,定点
,求△
面积的最大值;
(3)已知定点,直线
与椭圆交于
、
相异两点.证明:对任意的
,都存在实数
,使得以线段
为直径的圆过
点.
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【题目】已知椭圆的短轴长为2,离心率
,
(1)求椭圆方程;
(2)若直线与椭圆交于不同的两点
,与圆
相切于点
,
①证明:(其中
为坐标原点);
②设,求实数
的取值范围..
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【题目】某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过的包裹收费
元;重量超过
的包裹,除
收费
元之外,超过
的部分,每超出
(不足
,按
计算)需再收
元.该公司将最近承揽的
件包裹的重量统计如下:
包裹重量(单位: | |||||
包裹件数 |
公司对近天,每天揽件数量统计如下表:
包裹件数范围 | |||||
包裹件数 (近似处理) | |||||
天数 |
以上数据已做近似处理,并将频率视为概率.
(1)计算该公司未来天内恰有
天揽件数在
之间的概率;
(2)(i)估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值;
(ii)公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人,每人每天揽件不超过
件,工资
元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减
人,试计算裁员前后公司每日利润的数学期望,并判断裁员是否对提高公司利润更有利?
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【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为
,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx+b与椭圆C分别交于A,B两点,且OA⊥OB,试问点O到直线AB的距离是否为定值,证明你的结论.
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【题目】随着科技的发展,网购已经逐渐融入了人们的生活.在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西,在网上付款即可,两三天就会送到自己的家门口,如果近的话当天买当天就能送到,或者第二天就能送到,所以网购是非常方便的购物方式.某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数(单位:人)与时间
(单位:年)的数据,列表如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
24 | 27 | 41 | 64 | 79 |
(1)依据表中给出的数据,是否可用线性回归模型拟合与
的关系,请计算相关系数
并加以说明(计算结果精确到0.01).(若
,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
附:相关系数公式
,参考数据
.
(2)建立关于
的回归方程,并预测第六年该公司的网购人数(计算结果精确到整数).
(参考公式:
,
)
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