【题目】已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求函数a的取值范围;
(2)记函数的两个极值点为
,
,且
,证明对任意实数
,都有不等式
成立.
【答案】(1)(2)证明见详解.
【解析】
(1)将函数有两个极值点的问题,转化为导函数有两个零点的问题,再转化为函数图像有交点的问题,利用导数的几何意义求得临界状态时直线的斜率即可求得参数范围;
(2)根据的单调性,将问题转化为求证
,再构造函数
,根据其单调性,即可证明.
(1)依题
有两个不同的极值点,即
有两个不等实根.
亦即函数与
图象在
上有两个不同交点
若令过原点且与图象相切的直线斜率为k,则只需
设切点为,则
,而
故,于是
,所以
(2)证明:令则
由时,
,
单调递增
时,
,
单调递减
知是
的极大值点
故且
等价于
∵,
∴
故只需证即可
令,
则
故
∵∴
,
,∴
∴在
单调递增∴
∴∵
∴
又∵∴
又∵,
且
在
单调递增
∴∴
即原不等式成立
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【题目】2019年暑假期间,河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告,观众甲首次看到该景区的广告后,不来此景区的概率为,从第二次看到广告起,若前一次不来此景区,则这次来此景区的概率是
,若前一次来此景区,则这次来此景区的概率是
.记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为
,若当
时,
恒成立,则M的最小值为__________.
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【题目】已知椭圆,离心率为
,直线
恒过
的一个焦点
.
(1)求的标准方程;
(2)设为坐标原点,四边形
的顶点均在
上,
交于
,且
,若直线
的倾斜角的余弦值为
,求直线
与
轴交点的坐标.
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【题目】等差数列首项和公差都是
,记
的前n项和为
,等比数列
各项均为正数,公比为q,记
的前n项和为
:
(1)写出构成的集合A;
(2)若将中的整数项按从小到大的顺序构成数列
,求
的一个通项公式;
(3)若q为正整数,问是否存在大于1的正整数k,使得同时为(1)中集合A的元素?若存在,写出所有符合条件的
的通项公式,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列满足
,
,其中
是数列
的前n项和.
(1)求和
的值及数列
的通项公式;
(2)设.
①若,求k的值;
②求证:数列(中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.
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【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定:机动车行经人行道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”《中华人民共和国道路交通安全法》第
条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣
分,罚款
元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的
个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据:
月份 | |||||
不“礼让斑马线”驾驶员人数 |
(1)请利用所给数据求不“礼让斑马线”驾驶员人数与月份
之间的回归直线方程
,并预测该路口
月份的不“礼让斑马线”驾驶员人数;
(2)若从表中月份和
月份的不“礼让斑马线”驾驶员中,采用分层抽样方法抽取一个容量为
的样本,再从这
人中任选
人进行交规调查,求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式:,
.
参考数据:.
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【题目】某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的领取工资,该厂根据分流人员的技术特长,计划创办新的经济实体,该经济实体预计第一年属投资阶段,第二年每人可获得
元收入,从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%,如果某人分流后工资的收入每年
元,分流后进入新经济实体,第
年的收入为
元;
(1)求的通项公式;
(2)当时,是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入?
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