Question

14．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则下列一定成立的是（　　）

• A． 若a₄＞0，则a₂₀₁₆＜0
• B． 若a₅＞0，则a₂₀₁₅＜0
• C． 若a₄＞0，则S₂₀₁₆＞0
• D． 若a₅＞0，则S₂₀₁₅＞0

Answer 1

分析 当a₅=a₁q⁴＞0时，a₁＞0，分当q＜0时，当0＜q＜1时，当q＞1时，和q=1时由不等式的性质可得S₂₀₁₅＞0．

解答 解：当a₅=a₁q⁴＞0时，a₁＞0，
又当q≠1时，S₂₀₁₅=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2015}）}{1-q}$，
∴当q＜0时，1-q＞0，1-q²⁰¹⁵＞0，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2015}）}{1-q}$＞0，即S₂₀₁₅＞0；
当0＜q＜1时，1-q＞0，1-q²⁰¹⁵＞0，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2015}）}{1-q}$＞0，即S₂₀₁₅＞0；
当q＞1时，1-q＜0，1-q²⁰¹⁵＜0，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2015}）}{1-q}$＞0，即S₂₀₁₅＞0；
当q=1时，S₂₀₁₅=2015a₅＞0．
综上可得当a₅＞0时，S₂₀₁₅＞0．
故选：D．

点评 本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想和不等式的性质，属中档题．