Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^*）．
（1）设C_n=log₅（a_n+3），求证{C_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=

1

an-6

-

1

a 2 n +6an

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜-

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

a

2 n

+6

a

n

+6，得

an+1+3=(an+3)2.

，代入C_n=log₅（a_n+3）可得C_n+1=2C_n，由等比数列定义可证明；
（2）由等比数列通项公式可求得c_n，根据C_n=log₅（a_n+3）可求a_n；
（3）bn=

1

an-6

-

1

a 2 n +6an

=

1

an-6

-

1

an+1-6

，则Tn=

1

a1-6

-

1

a2-6

+

1

a2-6

-

1

a3-6

+…+

1

an-6

-

1

an+1-6

可求，由表达式可证；

解答：（1）证明：由an+1=

a

2 n

+6

a

n

+6，得

an+1+3=(an+3)2.

，
∴log₅（a_n+1+3）=2log₅（a_n+3），即C_n+1=2C_n，
∴{C_n}是以2为公比的等比数列；
（2）解：又C₁=log₅5=1，∴Cn=2n-1，即 log5(an+3)=2n-1，
∴an+3=52n-1．
故an=52n-1-3．
（3）证明：∵bn=

1

an-6

-

1

a 2 n +6an

=

1

an-6

-

1

an+1-6

，
∴Tn=

1

a1-6

-

1

a2-6

+

1

a2-6

-

1

a3-6

+…+

1

an-6

-

1

an+1-6

=

1

a1-6

-

1

an+1-6

=-

1

4

-

1

52n-9

．
又

1

52n-9

＞0，
∴Tn＜-

1

4

．

点评：本题考查等比数列的通项公式、裂项求和，考查学生的运算求解能力．