Question

【题目】设a是实数，f（x）=a﹣ （x∈R）．
（1）证明不论a为何实数，f（x）均为增函数；
（2）若f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，解关于x的不等式f（x+1）+f（1﹣2x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f（x）的定义域为R…（1分）

设x1＜x2，则

=

因为

所以 即f（x1）＜f（x2）

所以，不论a何值f（x）为增函数

（2）解：因为f（﹣x）+f（x）=0

所以f（1﹣2x）=﹣f（2x﹣1）

又因为f（x+1）+f（1﹣2x）＞0

所以f（x+1）＞f（2x﹣1）…（9分）

又因为f（x）为增函数，所以x+1＞2x﹣1

解得：x＜2

【解析】（1）利用函数的单调性的定义直接证明即可．（2）判断函数的奇偶性，利用函数的单调性化简求解即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法和函数单调性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．